%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Contents: Math typesetting with LaTeX
% $Id: math.tex 169 2008-09-24 07:32:13Z oetiker $
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Математикийн томьјо бэлтгэх}

\begin{intro}
  Математикийн томьјо бэлтгэх \TeX{}-ийн індсэн чадавхыг энэ білгээр туршин ізэх болно. Гэхдээ энд тайлбарлах зійліід нь °нг°цх°н ердийн хэрэглээний т°вшинд тохирсон байгаа гэдгийг анхаарна уу. Математикийн томьјо бэлтгэх иліі нарийн зійлсийг \AmS-\LaTeX{} дээр шийдэх боломжтой.
\end{intro}



\section{\texorpdfstring{\AmS}{AMS}-\LaTeX{} бірдэл}

Хэрэв \wi{математик}ийн эхийг мэргэжлийн т°вшинд бэлтгэхийг хісвэл \AmS-\LaTeX{}-ийг ашиглах хэрэгтэй. \AmS-\LaTeX{} бірдэл нь математикийн эх бэлтгэхэд зориулагдсан т°р°л болон багцуудын бірдэл юм. Бид \pai{amsmath} багцыг тілхіі авч ізэх болно. \AmS-\LaTeX{}-ийг \emph{\wi{Америкийн Математикийн Нийгэмлэг}ээс} гаргасан б°г°°д энэ нь математикийн эх бэлтгэхэд °рг°н°°р ашиглагддаг. \LaTeX{} нь математикийн эх бэлтгэх індсэн шаардлагуудыг хангах хэдий ч томьјо бэлтгэхэд \AmS-\LaTeX{}-ийг бодвол хязгаарлагдмал (эсвэл эсрэгээрээ: \AmS-\LaTeX{} \emph{хязгаарлагдмал}!), зарим тохиолдолд тохиромжгій байдаг.

\AmS-\LaTeX{} бол \LaTeX{}-ийн сіілийн іеийн біхий л тархцуудад багтдаг зайлшгій шаардлагатай тархцуудын нэг юм.\footnote{Хэрэв байхгій бол \texttt{CTAN:macros/latex/required/amslatex} хаягаас татна уу.} Энд \pai{amsmath} баримтын эхлэлд \verb|\usepackage{amsmath}| гэж зарлагдсан гэж ойлгој.

\section{Дан томьјонууд}

Математикийн \wi{томьјо}г хојр янзаар бэлтгэж болдог. “інд: зійл доторх м°рд (\emph{\wi{текст горим}д}), эсвэл зійлийг тасалж дунд нь оруулах (\textit{\wi{тодотгох горим}д}). Зійл \emph{дотор} математикийн \wi{томьјо}г \index{$@\texttt{\$}} \texttt{\$} болон \texttt{\$} хаалтууд дунд оруулна:
\begin{example}
$a$ квадрат дээр нэмэх нь
$b$ квадрат тэнціі $c$
квадрат. Томьјолбол:
$a^2 + b^2 = c^2$
\end{example}
\begin{example}
\TeX{}-ийг $\tau\epsilon\chi$
гэж дууддаг\\[5pt]
100~м$^{3}$ ус\\[5pt]
Энэ нь миний $\heartsuit$
сэтгэлээс урган гардаг
\end{example}

Урт томьјог зійлээс \emph{ялган харуулахдаа} тіінийг \verb|\begin{|\ei{equation}\verb|}| ба
\verb|\end{equation}| хірээлэлд хашиж оруулна.\footnote{Энэ нь \textsf{amsmath} тушаал болно. Хэрэв багцыг тодорхойгій шалтгааны улмаас ачаалж чадахгійд хірвэл \LaTeX-ийн °°рийн \ei{displaymath} хірээллийг ашиглаж бас болно.} Томьјоныхоо дугаарыг \ci{label} тушаалд хадгалж, \ci{eqref} тушаалаар сіілд текстдээ дахин дуудаж гаргаж болно. Хэрэв томьјоныхоо дугаарыг °°р нэрээр оруулахыг хісвэл \ci{tag} тушаалыг ашиглах б°г°°д гэхдээ іінийг \ci{eqref} тушаалтай хослуулан ашиглаж болохгій.
\begin{example}
$a$ квадрат дээр нэмэх нь
$b$ квадрат тэнціі $c$
квадрат. Буюу томьјолбол
 \begin{equation}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation}
Эйнштейний томьјо
 \begin{equation}
   E = mc^2 \label{clever}
 \end{equation}
Харин энэ буруу
 \begin{equation}
  1 + 1 = 3 \tag{dumb}
 \end{equation}
Энэ нь \eqref{clever}
томьјог зааж байна.
\end{example}

\LaTeX{}-г томьјог іл дугаарлуулахдаа \texttt{equation} командын °мн° од тавих \ei{equation*}, буюу хялбараар нь \ci{[} ба \ci{]} хаалтуудыг ашиглана:\footnote{\index{томьјо!\textsf{amsmath}}
  \index{томьјо!\LaTeX{}}Энэ нь бас л \textsf{amsmath}-ийнх. Хэрэв багц ачаалагдахгій байвал ііний оронд \LaTeX{}-ийн °°рийн \texttt{equation} хірээллийг ашиглаж болно.  \textsf{amsmath}/\LaTeX{} тушаалуудын нэршил нь °°р хоорондоо жаахан з°рчилд°х талтай хэдий ч \textsf{amsmath} хэрэглэгчдэд нэг их хіндрэл учруулахгій. Ер нь уг багцыг эхэнд нь ачаалах нь, хожим \LaTeX-ийн дугаарлагдаагій \texttt{equation} болон \AmS-\LaTeX-ийн дугаарлагдсан \texttt{equation} хооронд з°рчил іісэхээс сэргийлдэг.}
\begin{example}
$a$ квадрат дээр нэмэх нь
$b$ квадрат тэнціі $c$
квадрат. Буюу томьјолбол
 \begin{equation*}
   a^2 + b^2 = c^2
 \end{equation*}
эсвэл товчоор:
 \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
\end{example}

Томьјоны \wi{текст горим} болон \wi{тодотгох горим} хојрын ялгааг харуулъя:
\begin{example}
Текст горим:
$\lim_{n \to \infty}
 \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
 = \frac{\pi^2}{6}$.
Харин тодотгох горим нь:
 \begin{equation}
  \lim_{n \to \infty}
  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}
  = \frac{\pi^2}{6}
 \end{equation}
\end{example}

Текст горимд математикийн гишіін болон зэрэг агуулсан илэрхийлэл буюу дэд илэрхийлліідийг \ci{smash}-д оруулбал \LaTeX{} тэдгээр илэрхийлліідийн дээд доодох зайг іл хэрэгсэж м°р хоорондын тогтмол зайг хадгална.

\begin{example}
$d_{e_{e_p}}$ илэрхийллээс
м°рд°н гарах математик
$h^{i^{g^h}}$ илэрхийлэл.
Эсрэгээр,
\smash{$d_{e_{e_p}}$}
илэрхийллээс м°рд°н гарах
математик \smash{$h^{i^{g^h}}$}
илэрхийлэл.
\end{example}

\subsection{Математик горим}

Доорх хэсэгт \emph{\wi{математик горим}} болон \emph{текст горим} хоорондын ялгааг харуулав. Жишээлбэл, \emph{математик горим}:

\begin{enumerate}

\item \index{зай!математик горим} Сул зай авах болон м°р таслах горимууд хічингій. Учир нь эдгээр нь математикийн илэрхийлэлд тусгай іірэг гійцэтгэдэг тул тэдгээрийг \ci{,}, \ci{quad} буюу \ci{qquad} гэсэн тусгай тушаалуудаар илэрхийлдэг (бид іінийг хожим \ref{sec:math-spacing}-р білэгт эргэн судлах болно).

\item Томьјо бірд ганц л удаа догол м°р авч болно, иймд олон тооны хоосон м°рийг хэрэгсэхгій.

\item “сгіід нь хувьсагчийн ііргээр ордог тул томьјонд ердийн текстийг (налуу бус фонт болон сул зай біхий) \verb|\text{...}| тушаалаар оруулна (\pageref{sec:fontsz}-р хуудасны \ref{sec:fontsz}-р білэг).

\end{enumerate}
\begin{example}
$\forall x \in \mathbf{R}:
 \qquad x^{2} \geq 0$
\end{example}
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{іінд }x\in\mathbf{R}$
\end{example}

Ашиглаж буй тэмдгийг нарийн анхаардаг математикчдын хувьд саяын жишээнд ізіілсэн тэмдгийн оронд \pai{amssymb} багцын \ci{mathbb} тушаалаар дірслэгдэх `\wi{сиймхий тод}' (blackboard bold) фонт ашиглах нь хэвшмэл болсон.\footnote{\pai{amssymb} нь \AmS-\LaTeX{} бірдэлд хамаарахгій б°г°°д \LaTeX{} тархцад хамаарч болох юм. Тіінийг тархцаасаа шалгах буюу \texttt{CTAN:/fonts/amsfonts/latex/} хаягаас татаж авна уу.}
\ifx\mathbb\undefined\else
“інийг дараах жишээгээр ізіілэв.
\begin{example}
$x^{2} \geq 0\qquad
 \text{іінд } x
 \in \mathbb{R}$
\end{example}
\fi
ђ°р бусад математикийн фонтыг \pageref{mathalpha}-р хуудасны \ref{mathalpha}-р хіснэгт болон \pageref{mathfonts}-р хуудасны \ref{mathfonts}-р хіснэгтээс тус тус ізнэ іі.



\section{Математикийн томьјоны бірэлдіілбэр}

Энэ дэд білэгт бид математикийн томьјог бичихэд ашиглагддаг хамгийн чухал тушаалуудыг ізэх б°г°°д энд тохиолдох ихэнх томьјонууд нь \textsf{amsmath} багцыг шаардахгій хэдий ч болзошгій гэсэн ііднээс тіінийг зарласан байхад буруудахгій.


\textbf{\wi{Грек ісгіід}ийг жижгээр} \verb|\alpha|,
 \verb|\beta|, \verb|\gamma|, \ldots, томоор \verb|\Gamma|, \verb|\Delta|, \ldots\footnote{\LaTeXe{}-д Alpha, Beta гэсэн том ісгіідийн тэмдэглэгээ байдаггій учир нь эдгээр нь ердийн ром A, B\ldots{} ісгіідтэй адил бичигддэг. Хэрэвзээ шинэ математик тэмдэглэгээ гарвал эдгээр нь °°рчл°гд°ж болох юм.} гэж тус тус тэмдэглэнэ.

Грек ісгийн жагсаалтыг \pageref{greekletters}-р хуудасны \ref{greekletters}-р хіснэгтээс із.
\begin{example}
$\lambda,\xi,\pi,\theta,
 \mu,\Phi,\Omega,\Delta$
\end{example}


\textbf{Зэргийн илтгэгч болон гишіінийг}\index{зэргийн илтгэгч}\index{гишіін} \verb|^|\index{^@\verb"|^"|} ба \verb|_|\index{_@\verb"|_"|} тэмдэгтээр тус тус илэрхийлнэ.
Математик горимын ихэнх тушаалууд з°вх°н дараагийн ганц тэмдэгтэд ійлчилдэг б°г°°д тіінд хэд хэдэн тэмдэгтийг харьяалуулахын тулд тэдгээр тэмдэгтийг \verb|{...}| гэсэн уран хаалтад хашиж оруулах хэрэгтэй.

\pageref{binaryrel}-р хуудасны \ref{binaryrel}-р хіснэгтэд $\subseteq$ ба $\perp$ гэх мэт бинар харьцаануудыг ізіілэв.

\begin{example}
$p^3_{ij} \qquad
 m_\text{Knuth} \\[5pt]
 a^x+y \neq a^{x+y}\qquad
 e^{x^2} \neq {e^x}^2$
\end{example}


Харин \textbf{\wi{квадрат язгуур}ыг} \ci{sqrt}; $n$-р язгуурыг \verb|\sqrt[|$n$\verb|]| гэж тэмдэглэх ба язгуурын тэмдгийн хэмжээг \LaTeX{} автоматаар тодорхойлно. З°вх°н тэмдгийг илэрхийлэх бол \verb|\surd| тушаалыг ашиглана.

Бусад т°рлийн $\hookrightarrow$ ба $\rightleftharpoons$ мэтийг сумуудыг \pageref{tab:arrows}-р хуудасны \ref{tab:arrows}-р хіснэгтээс сонирхоно уу.
\begin{example}
$\sqrt{x} \Leftrightarrow x^{1/2}
 \quad \sqrt[3]{2}
 \quad \sqrt{x^{2} + \sqrt{y}}
 \quad \surd[x^2 + y^2]$
\end{example}


\index{цэг!гурван}
\index{босоо!цэг}
\index{хэвтээ!цэг}
Хэдийгээр \textbf{\wi{цэг}} тэмдэг нь заримдаа уншихад хялбар байлгах ііднээс томьјог білэглэхэд тустай байдаг ч іржих ійлдэлд энэхіі цэг тэмдгийг ашиглахгій б°г°°д голлосон ганц тэмдгийг \ci{cdot} ашиглана. Голлосон гурван цуваа \textbf{\wi{цэгіід}ийг} \ci{cdots}, хэвтээ цэгіідийг \ci{ldots}, босоо цэгіідийг \ci{vdots}, \wi{диагональдсан цэгіід}ийг \ci{ddots} тушаалуудаар тус тус тэмдэглэнэ. ђ°р бусад жишээг \ref{sec:arraymat}-р дэд білгээс ізнэ іі.
\begin{example}
$\Psi = v_1 \cdot v_2
 \cdot \ldots \qquad
 n! = 1 \cdot 2
 \cdots (n-1) \cdot n$
\end{example}

\ci{overline} ба \ci{underline} тушаалууд нь \textbf{х°ндл°н зураасыг} илэрхийллийн дээр болон доор гаргана:
\index{х°ндл°н!зураас} \index{зураас!х°ндл°н}
\begin{example}
$0.\overline{3} =
 \underline{\underline{1/3}}$
\end{example}

\ci{overbrace} ба \ci{underbrace} тушаалууд нь \textbf{х°ндл°н хаалтыг} илэрхийллийн дээр болон доор гаргана:
\index{х°ндл°н!хаалт} \index{хаалт!х°ндл°н}
\begin{example}
$\underbrace{\overbrace{a+b+c}^6
 \cdot \overbrace{d+e+f}^9}
 _\text{утга} = 42$
\end{example}

\index{математик!°рг°лтіід} Хувьсагчид математикийн \textbf{богино сум} буюу \textbf{\wi{долгионтой зураас}} мэтийн °рг°лтіідийг тэмдэглэх тушаалуудыг \pageref{mathacc}-р хуудасны \ref{mathacc}-р хіснэгтэд ізіілэв. Дараалсан тэмдэгтийн дээр том жижиг малгайг тэмдэглэхдээ \ci{widetilde} болон \ci{widehat} тушаалуудыг ашиглана. \ci{hat} болон \ci{widehat} нь °°р хоорондоо ялгаатай б°г°°д \ci{bar} нь гишіін агуулсан хувьсагчид зориулагдсан болохыг анхаарууштай.
\verb|'|\index{'@\verb"|'"|} тэмдэглэгээгээр \wi{уламжлал}ыг тэмдэглэнэ:
% a dash is --
\begin{example}
$f(x) = x^2 \qquad f'(x)
 = 2x \qquad f''(x) = 2\\[5pt]
 \hat{XY} \quad \widehat{XY}
 \quad \bar{x_0} \quad \bar{x}_0$
\end{example}


\textbf{Векторын}\index{векторууд} хувьсагчийн дээр байрлах жижиг \wi{сум}ыг \ci{vec} тушаалаар оруулна. $A$-аас $B$ уруу заах векторыг \ci{overrightarrow} буюу \ci{overleftarrow} тушаалуудаар илэрхийлнэ:
\begin{example}
$\vec{a} \qquad
 \vec{AB} \qquad
 \overrightarrow{AB}$
\end{example}


Дараах логарифмын функціідийг \LaTeX{}, хувьсах хэмжигдэхіінийг тэмдэглэдэг налуу фонтоор бус босоо фонтоор тэмдэглэдэг:
\index{математик!функціід}

\begin{tabular}{llllll}
\ci{arccos} &  \ci{cos}  &  \ci{csc} &  \ci{exp} &  \ci{ker}    & \ci{limsup} \\
\ci{arcsin} &  \ci{cosh} &  \ci{deg} &  \ci{gcd} &  \ci{lg}     & \ci{ln}     \\
\ci{arctan} &  \ci{cot}  &  \ci{det} &  \ci{hom} &  \ci{lim}    & \ci{log}    \\
\ci{arg}    &  \ci{coth} &  \ci{dim} &  \ci{inf} &  \ci{liminf} & \ci{max}    \\
\ci{sinh}   & \ci{sup}   &  \ci{tan}  & \ci{tanh}&  \ci{min}    & \ci{Pr}     \\
\ci{sec}    & \ci{sin} \\
\end{tabular}

\begin{example}
\[\lim_{x \rightarrow 0}
 \frac{\sin x}{x}=1\]
\end{example}

Дээрх жагсаалтад ороогій функціідэд \ci{DeclareMathOperator} тушаалыг ашиглаж болох б°г°°д тііний одтой хувилбараар функцийн хязгаарыг тэмдэглэж болно. Энэхіі тушаал нь баримтын эхлэлд зарлагдаж байж ажиллах тул доорх жишээнд орсон тайлбар біхий м°ріідийг баримтын эхлэлд бичсэн байвал зохино.

\begin{example}
%\DeclareMathOperator{\argh}{argh}
%\DeclareMathOperator*{\nut}{Nut}
\[3\argh = 2\nut_{x=1}\]
\end{example}

Дараах хојр функц нь \wi{модуляр функц}эд зориулагдсан: \ci{bmod} нь ``$a \bmod b$'' гэсэн бинар ійлдэлд, \ci{pmod} нь ``$x\equiv a \pmod{b}$'' гэсэн илэрхийлэлд:
\begin{example}
$a\bmod b \\
 x\equiv a \pmod{b}$
\end{example}

\ci{frac}\verb|{...}{...}| тушаалаар \textbf{\wi{бутархай}г} тэмдэглэх б°г°°д энэ нь текст дунд орохдоо м°р хоорондын зайнаас хамаарч агшдаг. Энэхіі агшсан хэлбэрийг тодотгосон горимд \ci{tfrac} тушаалаар гаргаж болдог. Дээрх тушаалын текст горимд іл агших хувилбар нь \ci{dfrac} юм. Ц°°н оронтой бутархайг ихэвчлэн $1/2$ гэж тэмдэглэх нь иліі дээр байдаг:
\begin{example}
Тодотгосон горим:
\[3/8 \qquad \frac{3}{8}
 \qquad \tfrac{3}{8} \]
\end{example}

\begin{example}
Текст горим:
$1\frac{1}{2}$~цаг \qquad
$1\dfrac{1}{2}$~цаг
\end{example}

\ci{partial} тушаалаар \wi{тухайн уламжлал}ыг илэрхийлнэ:
\begin{example}
\[\sqrt{\frac{x^2}{k+1}}\qquad
  x^\frac{2}{k+1}\qquad
  \frac{\partial^2f}
  {\partial x^2} \]
\end{example}

\pai{amsmath}-ийн \ci{binom} тушаалаар \wi{бином коэффициент} буюу іінтэй ижил бітцийг іісгэж болдог:
\begin{example}
Паскалийн дірэм
\begin{equation*}
 \binom{n}{k} =\binom{n-1}{k}
 + \binom{n-1}{k-1}
\end{equation*}
\end{example}

Давхар тэмдэгтэй \wi{бинар харьцаа}г илэрхийлэхдээ \ci{stackrel}\verb|{#1}{#2}| тушаалыг ашиглах б°г°°д іінд \verb|#1| нь дээд, \verb|#2| нь доод хэсэг болно.
\begin{example}
\begin{equation*}
 f_n(x) \stackrel{*}{\approx} 1
\end{equation*}
\end{example}

\ci{int} тушаалаар \textbf{\wi{интегралын ійлдлийн тэмдэг}}, \ci{sum} тушаалаар \textbf{\wi{нийлбэрийн ійлдлийн тэмдэг}}, \ci{prod} тушаалаар \textbf{\wi{іржіілэх ійлдлийн тэмдэг}} тус тус, м°н дээд доод хязгаарууд~\verb|^| ба~\verb|_| гэж тэмдэглэгдэнэ:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^n \qquad
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \qquad
\prod_\epsilon
\end{equation*}
\end{example}

\pai{amsmath}-ийн \ci{substack} тушаал нь комплекс илэрхийлэлд индекс тэмдэглэхэд зориулагдсан:
\begin{example}
\begin{equation*}
\sum^n_{\substack{0<i<n \\
        j\subseteq i}}
   P(i,j) = Q(i,j)
\end{equation*}
\end{example}



\LaTeX{}-д \textbf{\wi{хаалт}} болон бусад \textbf{\wi{хязгаар}т} (жишээ нь~$[\;\langle\;\|\;\updownarrow$) зориулсан олон т°рлийн тэмдгіід байдаг. Дугуй болон д°рв°лжин хаалтуудыг яг тухайн тэмдгийн дагуу, харин гој хаалтыг \verb|\{|, харин бусад хязгааруудыг тусгай тушаалаар іісгэнэ (жишээ нь~\verb|\updownarrow|).
\begin{example}
\begin{equation*}
{a,b,c} \neq \{a,b,c\}
\end{equation*}
\end{example}

Хэрэв \ci{left}-г нээх хаалтын °мн°, хаах хаалтын °мн° \ci{right}-г тус тус тавихад \LaTeX{}, хаалтын °ндрийг автоматаар тохируулдаг. Гэхдээ \ci{left} ба \ci{right} хојр нь заавал хосоороо орох јстой гэдгийг анхаараарай. Хэрэв нээх хаалтыг тавилгій з°вх°н хаах хаалтыг оруулъя гэвэл зіін хаалтыг ``\ci{left.}'' гэж нууцалж °г°х хэрэгтэй:
\begin{example}
\begin{equation*}
1 + \left(\frac{1}{1-x^{2}}
    \right)^3 \qquad
\left. \ddagger \frac{~}{~}\right)
\end{equation*}
\end{example}

Зарим тохиолдолд математикийн хаалтын\index{математик!хаалт} хэмжээг, уг хаалтын °мн° \ci{big}, \ci{Big}, \ci{bigg} болон
\ci{Bigg} тушаалуудыг бичиж гараар тохируулах нь бий:
\begin{example}
$\Big((x+1)(x-1)\Big)^{2}$\\
$\big( \Big( \bigg( \Bigg( \quad
\big\} \Big\} \bigg\} \Bigg\} \quad
\big\| \Big\| \bigg\| \Bigg\| \quad
\big\Downarrow \Big\Downarrow
\bigg\Downarrow \Bigg\Downarrow$
\end{example}
\pageref{tab:delimiters}-р хуудасны \ref{tab:delimiters}-р хіснэгтээс эдгээр хаалтуудыг сонирхоно уу.

\section{Босоо жигдлэлт}

\subsection{Томьјог таслах}
\index{томьјо!олон}

Хэд хэдэн м°р буюу \wi{систем тэгшитгэл}д \texttt{equation} болон \texttt{equation*} хірээллийн оронд \ei{align} болон \verb|align*| хірээллийг ашиглахад тохиромжтой байдаг\footnote{\ei{align} нь \textsf{amsmath}-ийн хірээлэл юм. \LaTeX{}-ийн іінтэй ижил хірээлэл нь \ei{eqnarray} боловч зай авах болон хаяглалт іісгэхэд тохиромжгій.} б°г°°д энэ хірээлэлд м°р тусбірийн томьјо дугаарлагддаг. Тэдгээрийг дугаарлахгій гэвэл \verb|align*| гэхэд хангалттай.

\ei{align} хірээлэлд \verb|\\| тушаалаар томьјог тасалж, таслахад іісэх м°р бірийн томьјог \verb|&| тэмдгээр жигдлэн нийтэд нь голлуулдаг. З°вх°н тодорхой тооны томьјог дугаарлах хэрэгтэй бол дугаарлах шаардлагагій томьјоны м°р таслах \verb|\\| тэмдгийн \emph{°мн°} \ci{nonumber} гэсэн тушаалыг зарлана:
\begin{example}
\begin{align}
f(x) &= (a+b)(a-b) \label{1}\\
     &= a^2-ab+ba-b^2  \\
     &= a^2+b^2 \tag{буруу}
\end{align}
Энэ бол \eqref{1} томьјоны заагч.
\end{example}

\index{урт томьјонууд} \textbf{Урт томьјо} автоматаар оновчтой тасардаггій. Зохиогч чухам хаагуур тасалбал зохихыг шийддэг:
\begin{example}
\begin{align}
f(x) &= 3x^5 + x^4 + 2x^3
                \nonumber \\
     &\qquad + 9x^2 + 12x + 23 \\
     &= g(x) - h(x)
\end{align}
\end{example}
\pai{amsmath} багцад дээрхтэй т°стэй ц°°н тооны хірээлліід байдаг: \verb|flalign|,
\verb|gather|, \verb|multline| болон \verb|split|. Уг багцад хамаарах тушаал, хірээлліід болон бусад мэдээллийг тііний баримтаас авч болно.

\subsection{Хіснэгт болон матрицууд} \label{sec:arraymat}

\textbf{Хіснэгт} іісгэхэд \ei{array} хірээлэл ашиглагддаг. Энэ нь зарим талаараа \texttt{tabular} хірээлэлтэй ижилхэн юм. \verb|\\| тушаалаар м°р тасалдаг:
\begin{example}
\begin{equation*}
 \mathbf{X} = \left(
  \begin{array}{ccc}
   x_1 & x_2 & \ldots \\
   x_3 & x_4 & \ldots \\
   \vdots & \vdots & \ddots
  \end{array} \right)
\end{equation*}
\end{example}


\ei{array} хірээллээр \wi{інэмлэхій хэмжигдэхіінт функц}ийг илэрхийлэхдээ \ci{right}-ийн ард ``\verb|.|'' тэмдгийг тавьж баруун хаалтыг далдална:\footnote{“ін шиг ижил бітцийг \textsf{amsmath}-ийн \ei{cases} хірээллээр гаргаж бас болно.}
\begin{example}
\begin{equation*}
|x| = \left\{
 \begin{array}{rl}
  -x & x < 0 \text{ іед}\\
   0 & x = 0 \text{ іед}\\
   x & x > 0 \text{ іед}
 \end{array} \right.
\end{equation*}
\end{example}



\ei{array}-г м°н матриц\index{матриц} іісгэхэд ашиглаж болох боловч \pai{amsmath}-ийн \ei{matrix} хірээлэл иліі тохиромжтой байдаг. “інд зургаан янзын хаалт бий: \ei{matrix} (хаалтгій), \ei{pmatrix} $($, \ei{bmatrix} $[$, \ei{Bmatrix} $\{$, \ei{vmatrix} $\vert$ ба \ei{Vmatrix} $\Vert$. Баганын тоог \ei{array} шиг тодорхойлж °г°х шаардлагагій. Тііний баганын дээд хязгаар нь 10 боловч іінийг тохируулж °гч болдог (10 багана бол хангалттай тоо!):
\begin{example}
\begin{equation*}
 \begin{matrix}
   1 & 2 \\
   3 & 4
 \end{matrix} \qquad
 \begin{bmatrix}
   1 & 2 & 3 \\
   4 & 5 & 6 \\
   7 & 8 & 9
 \end{bmatrix}
\end{equation*}
\end{example}



\section{Математик горим дахь зай} \label{sec:math-spacing}

\index{мат зай} Хэрэв \LaTeX{}-ын томьјонд хэрэглэж буй зай нь хангалтгій байвал тіінийг зай тохируулах дараах тушаалуудаар тааруулж болно: \ci{,} нь $\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ (\demowidth{0.166em}), \ci{:} нь $\frac{4}{18}\:
\textrm{quad}$ (\demowidth{0.222em}) ба \ci{;} нь $\frac{5}{18}\:
\textrm{quad}$ (\demowidth{0.277em}). Ердийн сул зай нь іг хоорондох зайтай ижил дундаж хэмжээний \verb*|\ | зайг іісгэдэг б°г°°д \ci{quad} (\demowidth{1em}) болон \ci{qquad} (\demowidth{2em}) нь іінээс иліі урт хэмжээний зай авна. \ci{quad}-ийн зай нь сонгосон фонтын `M' ісгийн °рг°нтэй эн чацуу байдаг. \verb|\!|\cih{"!} нь баруун тийш тэлж бус зіін тийш агшиж $-\frac{3}{18}\:\textrm{quad}$ ($-$\demowidth{0.166em}) хэмжээний зай авдаг.

`d' нь дифференциалд босоо фонтоор бичигдэж байгааг анзаар:
\begin{example}
\begin{equation*}
 \int_1^2 \ln x \mathrm{d}x \qquad
 \int_1^2 \ln x \,\mathrm{d}x
\end{equation*}
\end{example}


Дараагийн жишээнд, ``$\,\mathrm{d}$''-г ($\text{d}$-ийн °мн° \demowidth{0.166em} зай авъя), \ci{ud} гэх шинэ тушаалаар т°л°°ліілэн товчоор илэрхийлье.
\ci{newcommand} тушаал нь баримтын эхлэлд зарлагдана. %  More on
% \ci{newcommand} in section~\ref{} on page \pageref{}. To Do: Add label and
% reference to "Customising LaTeX" -> "New Commands, Environments and Packages"
% -> "New Commands".
\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\begin{equation*}
 \int_a^b f(x)\ud x
\end{equation*}
\end{example}

Давхар интегралыг гаргахад интегралын тэмдэг хооронд сул зай ііснэ, іінийг \ci{!} тушаалаар шийдэж болох авч \pai{amsmath}-д іінийг хялбархан шийдэх \ci{iint}, \ci{iiint}, \ci{iiiint}, ба \ci{idotsint} гэх тушаалууд байдаг.

\begin{example}
\newcommand{\ud}{\,\mathrm{d}}

\[ \int\int f(x)g(y)
                  \ud x \ud y \]
\[ \int\!\!\!\int
         f(x)g(y) \ud x \ud y \]
\[ \iint f(x)g(y) \ud x \ud y \]
\end{example}

Энэ талаарх дэлгэрэнгійг \texttt{testmath.tex} (\AmS-\LaTeX-ээс гаргасан) эсвэл \companion{} товхимлын 8-р білгээс сонирхоно уу.

\subsection{“л ізэгдэгч}

\LaTeX{}-д \verb|^| ба \verb|_| тэмдэгтіідийг текстэд босоо жигдлэлт хийхэд ашиглаж болдог. \ci{phantom} тушаалаар тодорхой тэмдэгтийн уртаар зай авч болдгийг жишээгээр ізіілье:
\begin{example}
\begin{equation*}
{}^{14}_{6}\text{C}
\qquad \text{ііний оронд} \qquad
{}^{14}_{\phantom{1}6}\text{C}
\end{equation*}
\end{example}
Дээрх жишээнд ізіілсэн шиг олон изотоптой томьјог хялбархан бэлтгэе гэвэл химийн томьјог бэлтгэх зориулалттай \pai{mhchem} багцыг ашиглахад хангалттай.


\section{Математик фонт сонголт}\label{sec:fontsz}
Математикийн фонтуудыг \pageref{mathalpha}-р хуудасны \ref{mathalpha}-р хіснэгтэд ізіілэв.
\begin{example}
 $\Re \qquad
  \mathcal{R} \qquad
  \mathfrak{R} \qquad
  \mathbb{R} \qquad $
\end{example}
Сіілийн хојр фонтод \pai{amssymb} буюу \pai{amsfonts} багц шаардагдана.

Зарим тохиолдолд \LaTeX{}-д фонтын хэмжээг тааруулах хэрэг гардаг. “інийг математик горимд дараах д°рв°н тушаалаар гійцэтгэнэ:
\begin{flushleft}
\ci{displaystyle}~($\displaystyle 123$),
 \ci{textstyle}~($\textstyle 123$),
\ci{scriptstyle}~($\scriptstyle 123$) ба
\ci{scriptscriptstyle}~($\scriptscriptstyle 123$).
\end{flushleft}

Хэрэв $\sum$ тэмдэг бутархайд ороход, \LaTeX{}-д ііний хэмжээг тодорхойлж °г°°гій л бол энэ нь текст горимоор буюу жижгээр гарах болно:
\begin{example}
\begin{equation*}
 R = \frac{\displaystyle{
   \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})
   (y_i- \bar{y})}}
   {\displaystyle{\left[
   \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2
   \sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2
   \right]^{1/2}}}
\end{equation*}
\end{example}
Хэмжээг °°рчл°х нь голдуу томоохон ійлдліід болон хязгааруудад хэрэглэгддэг.

% This is not a math accent, and no maths book would be set this way.
% mathop gets the spacing right.


\subsection{Тод тэмдгіід}
\index{тод тэмдгіід}

\LaTeX{}-д тод тэмдгіідийг олонтаа хэрэглэх нь хялбаргій. \verb|\mathbf| тушаалаар математик налуу ісгийг босоо болгож тодруулдаг бол грек жижиг ісгийг тодруулдаггій. Эдгээр дутагдлыг \ci{boldmath} н°х°ж болох боловч \emph{энэ тушаал нь математик горимын гадна ійлчилдэг}:
\begin{example}
$\mu, M \qquad
\mathbf{\mu}, \mathbf{M}$
\qquad \boldmath{$\mu, M$}
\end{example}

Дээрх хіндрэлийг иліі хялбараар \pai{amsbsy} (\pai{amsmath}-д агуулагдах) болон \texttt{tools} бірдлийн \pai{bm} багцуудад хамаарах \ci{boldsymbol} тушаалыг ашиглаж шийдэж болно:

\begin{example}
$\mu, M \qquad
\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{M}$
\end{example}


\section{Теорем, Лемміід, \ldots}

Математикийн эх бэлтгэх явцад ``Лемм'', ``Тодорхойлолт'', ``Аксиом'' мэтийн нэгэн хэвийн хірээлліідийг ашиглах шаардлага гарч болох юм.
\begin{lscommand}
\ci{newtheorem}\verb|{|\emph{нэр}\verb|}[|\emph{тоолуур}\verb|]{|%
         \emph{текст}\verb|}[|\emph{білэг}\verb|]|
\end{lscommand}
\emph{нэр} гэсэн хувьсагчид ``теорем''-ыг заах товчилсон нэрийг, \emph{текст} хувьсагчид ``теорем''-ыг т°л°°л°х нэрийг тус тус оруулна.

Д°рв°лжин хаалтад орсон туслах чанарын хувьсагчуудаар ``теорем''-ын дугаарлалтыг тодорхойлно. \emph{тоолуур} хувьсагч нь \emph{нэр} біхий ``теорем''-г заах б°г°°д уг тоолуурыг дараагийн ``теорем''-д іргэлжліілэн ашиглана. \emph{білэг} гэсэн хувьсагчийг ``теорем''-д білгийн дугаарыг хамааруулан тоолоход ашиглана.

Баримтын эхлэлд \ci{newtheorem} тушаалыг зарласны ір дінд дараах тушаалыг биеліілэх боломж бірдэнэ.
\begin{code}
\verb|\begin{|\emph{нэр}\verb|}[|\emph{текст}\verb|]|\\
Сонирхож буй теорем\\
\verb|\end{|\emph{нэр}\verb|}|
\end{code}

\pai{amsthm} багц (\AmS-\LaTeX-ийн) нь \ci{theoremstyle}\verb|{|\emph{загвар}\verb|}| тушаалаар теоремын дараах гурван т°рлийн загварыг санал болгодог: \texttt{definition} (гарчгийг тодоор, текстийг босоогоор),
\texttt{plain} (гарчгийг тодоор, текстийг налуугаар) буюу \texttt{remark} (гарчгийг налуугаар, текстийг налуугаар).

Онолын біх тодорхойлолтыг іігээр тэмдэглэж болно. \verb|\newtheorem| хірээллийг хэрхэн ашиглахыг дараах жишээгээр ізіілье.

% actually define things
\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Law}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{jury}[law]{Jury}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaret}

Эхэлж теоремуудыг тодорхойлно:

\begin{verbatim}
\theoremstyle{definition} \newtheorem{law}{Law}
\theoremstyle{plain}      \newtheorem{jury}[law]{Jury}
\theoremstyle{remark}     \newtheorem*{marg}{Margaret}
\end{verbatim}

\begin{example}
\begin{law} \label{law:box}
Don't hide in the witness box
\end{law}
\begin{jury}[The Twelve]
It could be you! So beware and
see law~\ref{law:box}.\end{jury}
\begin{marg}No, No, No\end{marg}
\end{example}

Дээрх жишээнд ``Jury'' болон ``Law'' гэсэн теоремуудыг нэгэн дугаарлалтад хамруулжээ. Д°рв°лжин хаалтад байгаа хувьсагч нь теоремд гарчиг буюу ижил зійлийг тодотгоход ашиглагдаж байна.
\begin{example}
\newtheorem{mur}{Мэрфи}[section]

\begin{mur} Хийх хэд хэдэн
арга зам байгаагийн аль нэг
эрсдэлтэйг нь хэн нэгэн
сонгож таараа.\end{mur}
\end{example}

``Мэрфи''-гийн теоремыг тухайн дэд білгийн дугаартай хослуулан дугаарлажээ. М°н іінээс гадна білэг эсвэл дэд хэсгийн дугаарыг ашиглаж бас болно.

\pai{amsthm} багцад \ei{proof} хірээлэл бас байдаг.

\begin{example}
\begin{proof}
\[E=mc^2\]
гэдгээс илэрхий.
\end{proof}
\end{example}

\ci{qedhere} тушаалаар `баталгааг т°гсг°х' тэмдгийн байршлыг °°рчилж нэг м°р ахиулан тавьж болно.

\begin{example}
\begin{proof}
\[E=mc^2 \qedhere\]
гэдгээс илэрхий.
\end{proof}
\end{example}

Теоремыг т°гсг°х тэмдгийг \pai{ntheorem} багцад нэмэлт сонголтыг тодорхойлон °°рчилж болно.


%

% Local Variables:
% TeX-master: "lshort"
% mode: latex
% mode: flyspell
% End:
